Beekman studierte am Brabanter Conservatorium in Tilburg bei Louis Toebosch. Nachdem er mehrere  Diplomen erworben hatte – darunter das Solistendiplom Orgel mit Auszeichnung – studierte er weiter bei Anton Heiller in Wien. Im Jahre 1975 erwarb er den Prix d’Excellence. Er ist seit 1980 Professor für Orgel am Brabanter Conservatorum (jetzt ‘Fontys Conservatorium’) in Tilburg, und seit 1997 ist er auch Organist an der Oostkerk in Middelburg.

Er gibt viele Konzerte in den Niederlanden und im Ausland; auch hat er zahlreiche Rundfunk-, Fernseh- und CD-Aufnahmen gemacht. 2008 konzertierte er mehrmals im Rahmen eines Orgelfestivals in Beijing (China). Er komponierte mehrere Werke für Orgel, Chor, und Orchester. Für das LBCD-Label spielte Bram Beekman an vierzehn historischen Barockorgeln in den Niederlanden das vollständige Orgelwerk Johann Sebastian Bachs (insgesamt neun Doppel-CDs). Das gesamte Orgelwerk César Francks, gespielt an der Cavaillé-Coll-Orgel der Cathédrale Jean-Baptiste in Perpignan (Frankreich), erschien auf drei CDs.